Нахождение для натуральных n

 

Пусть требуется извлечь корень n-й степени заданного числа, а калькулятора с соответствующей функцией под рукой нет. Будем решать задачу последовательными приближениями. Нулевое приближение прикинем в уме. Следующее приближение представим в виде . Тогда . Равенство приближенное, конечно. Раскрываем скобки:

Делим все на :

Слагаемыми со степенью пренебрегаем, как малыми в сравнении с . Получаем:

Выражаем отсюда d и затем .

Окончательно, рекуррентная формула для последовательных приближений имеет следующий вид:

Для примера найдем

 

Приближение	Значение корня
x0	5
x1	7.764
x2	6.895088904
x3	6.701938041
x4	6.693263755
x5	6.693246863

Я выписал столько цифр после запятой, сколько дал мой калькулятор. Пятое приближение в точности равно числу, получаемому на калькуляторе при вводе . Как видите, сходимость весьма быстрая, особенно если учесть, что первое приближение взято очень грубо.

 

Насколько мне известно, первым этот метод предложил американский математик Грехем. К той же формуле можно прийти, если решать соответствующее степенное уравнение методом касательных.